Le dompteur d’équations

22/01/2015

Martin Hairer © Simons Foundation and International Mathematical Union

Martin Hairer donne un sens à des équations impossibles. Le titulaire de la chaire royale de mathématiques de l’Université de Warwick a reçu en 2014 la plus haute distinction du domaine: la médaille Fields. Par Daniel Saraga

​Une feuille qui brûle, une nappe qui se mouille: quoi de plus banal. Mais pour les mathématiciens, décrire ces phénomènes quotidiens représente un casse-tête insoluble.

Jusqu’à ce que Martin Hairer publie en 2013 une oeuvre magistrale couchée sur 180 pages: sa "théorie des structures de régularité". L’Autrichien de 39 ans, qui a grandi et étudié à Genève, a inventé de nouveaux outils capables de résoudre enfin une grande classe de problèmes décrits pas des équations différentielles partielles stochastiques. Celles-ci décrivent l’évolution temporelle d’un système à plusieurs dimensions qui dépend de manière non linéaire d’un certain nombre de facteurs, dont l’un est aléatoire. La solution de Martin Hairer lui vaut de recevoir un an plus tard la médaille Fields, souvent surnommée "prix Nobel" de mathématiques.
 
"J’ai dévoré son article comme on lit The Lord of the Rings", relève en souriant Lorenzo Zambotti, de l’Université Pierre et Marie Curie (Paris). "La communauté scientifique a tout de suite compris les implications de son travail, même si elle éprouve encore parfois de la peine à suivre tous les détails techniques", ajoute Hendrik Weber, de l’Université de Warwick (Royaume-Uni), où Martin Hairer enseigne depuis une décennie.

"Je n’étais pas un enfant surdoué", confie Martin Hairer. Il découvre son intérêt pour les mathématiques à 12 ans, en même temps que l’informatique. A 15 ans, il remporte un concours européen pour jeunes scientifiques avec un programme informatique de conception de circuits électroniques. Il invente l’année suivante un outil pour analyser et manipuler la musique. Ce sera Amadeus, un programme pour Mac utilisé aujourd’hui encore par des ingénieurs du son et des DJ.

Il étudie ensuite la physique à l’Université de Genève, où il fait sa thèse avec Jean- Pierre Eckmann. Soutenu par deux bourses du Fonds national suisse, il travaille entre 2002 et 2004 comme postdoc à l’Université de Warwick, une alma mater réputée pour son département de mathématiques. Il y restera.

L’équation interdite

"Pour faire simple, on peut dire que mon dernier travail consiste à donner un sens à des équations mal définies", explique Martin Hairer. Elles ont été écrites par des physiciens afin d’exposer des problèmes tels qu’une feuille qui brûle ou un aimant qui perd son aimantation. Pour les résoudre, ils n’hésitent pas à les triturer et les approximer jusqu’à ce qu’une solution s’ensuive – à l’instar d’un électricien qui répare un appareil de manière pragmatique.

Mais une telle approche n’est pas acceptable pour un mathématicien. "Je veux mettre de l’ordre et comprendre pourquoi la méthode des physiciens fonctionne. Il faut pouvoir donner un sens précis à ces équations", note le lauréat de la médaille Fields. Avant de chercher une solution, mieux vaut s’assurer que le problème est bien posé.

La difficulté vient du terme aléatoire de l’équation, qui décrit la part de hasard dans la progression du bord de la feuille en train de brûler. "Le front de la feuille est lisse sur de courtes distances, mais il peut devenir infiniment abrupt à grande échelle. A cause de cela, certaines opérations nécessaires pour écrire l’équation sont interdites, comme prendre la dérivée (estimer la pente de la courbe, ndlr)."

Pour traiter ces objets intraitables, Martin Hairer a d’abord généralisé à plusieurs dimensions les travaux de Terry Lyons, de l’Université d’Oxford, qui ne s’appliquaient qu’à des problèmes unidimensionnels. Il résout l’équation KPZ, un quart de siècle après sa formulation par Mehran Kardar, Giorgio Parisi et Yi-Cheng Zhang (un physicien de l’Université de Fribourg). Il s’attaque alors à développer une théorie générale pour comprendre ces structures qui se cachent derrière les équations stochas-tiques.

Son idée est d’élaborer la solution petit à petit de manière itérative, en partant de la solution d’une équation simplifiée. Mais il lui faut encore démontrer que cette méthode débouche sur les bonnes solutions. "J’ai eu l’intuition que les ondelettes – une transformation mathématique utilisée notamment pour la compression d’images – pourraient s’avérer utiles, mais je n’en avais qu’une connaissance limitée. J’en ai parlé à ma femme à la maison, qui est également mathématicienne. Elle m’a mis un livre dans les mains en me disant: ‹Regarde-ça!› J’en ai lu la moitié le soir même!"

Les maths sont éternelles

Sa théorie des équations différentielles stochastiques pourrait trouver une multitude d’applications dans des domaines variés, mais là n’est pas la motivation du chercheur. "C’est la recherche de la beauté. Les mathématiques sont la seule science qui permette une compréhension complète et absolue. A partir du moment où l’on se fixe un cadre précis, c’est soit vrai, soit faux." Autre bienfait: la postérité. "Notre vision du monde physique évolue sans cesse. Mais un théorème mathématique, lui, reste vrai pour l’éternité."

"Martin n’est pas du tout un loup solitaire, affirme Lorenzo Zambotti. Il est très simple et sympathique, et toujours accessible." Martin Hairer dit ne pas craindre l’ambiguïté dans son quotidien et passe son temps libre à cuisiner et à faire des balades avec sa femme. "Je peux très bien faire le vide. Ce n’est pas un problème pour moi de ne pas penser aux mathématiques pendant deux semaines." Après tout, même la recherche de la beauté et de l’éternité a droit à des vacances.


Daniel Saraga est rédacteur en chef du magazine scientifique Technologist.


(De "Horizons" no 103, Décembre 2014)



 

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