Latsis-Preis 2026: Susanna Zimmermann erforscht, wann geometrische Objekte identisch sind

Viele Menschen empfinden Mathematik als schwierig. Für Susanna Zimmermann gleicht sie eher einem Spiel: ein klar definiertes Problem, keine vorgegebene Strategie und die Herausforderung, durch eine neuartige Lösung zu einem schlüssigen und eindeutigen Ergebnis zu gelangen. «Und dann geht es ans nächste Problem», sagt die Professorin für Mathematik an der Universität Basel. Für ihre bahnbrechende Forschung auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie wurde sie mit dem Schweizer Wissenschaftspreis Latsis 2026 ausgezeichnet.

«Für mich ist Forschung ein sehr kreativer Prozess. Es macht mir Spass, über ein Problem nachzudenken und auf strukturierte und logische Weise eine Lösung zu finden. Ich muss das Problem in seine wesentlichen Bestandteile zerlegen, diese neu zusammenfügen und so irgendwie zu einer Lösung gelangen. Je abstrakter die Mathematik, desto kreativer kann dieser Prozess sein», erklärt sie.

Wann sind zwei Objekte wirklich identisch?

Seit die Menschheit idealisierte Formen wie Quadrate, Dreiecke und Kugeln definiert hat, werden ständig Anstrengungen unternommen, um ihre Eigenschaften zu verstehen, wie sie verändert werden können und welche Folgen diese Veränderungen haben. Dies geht auf Euklid zurück, einen Mathematiker aus dem antiken Griechenland. Im Laufe der Zeit wurden die Prozesse immer ausgefeilter, sodass sie mittlerweile auch hochabstrakte und schwer vorstellbare Geometrien umfassen. Ein Grossteil der Mathematik entwickelt sich weiter, indem ein bestehendes Konzept abwandelt wird. Darauf wird untersucht, welche Eigenschaften dabei gültig bleiben und welche neuen sich daraus ergeben.

So besteht ein zentrales Problem der Geometrie darin, zu entscheiden, wann zwei Formen als identisch anzusehen sind. Dies ermöglicht Forschenden, sie zu klassifizieren und jene Eigenschaften zu ermitteln, die sie tatsächlich definieren. Es stellen sich Fragen wie: Ähnelt eine Kugel eher einem Würfel oder einem Donut? Die Antwort hängt davon ab, welche Veränderungen (Transformationen) in dem betrachteten System zulässig sind.

In der gewöhnlichen Geometrie wird ein Dreieck nicht zu einem anderen Dreieck, nur weil es verschoben, gedreht oder gespiegelt wird. Es verändert sich jedoch, wenn einer seiner Winkel verändert wird oder wenn es nur in eine Richtung gestreckt wird. In anderen Zusammenhängen ist eine Dehnung zulässig, sodass man Dreiecke mit unterschiedlichen Proportionen als gleichwertig behandeln kann.

In der Topologie – einem Teilgebiet der Geometrie, in dem Formen gedehnt oder gebogen werden können, nicht aber zerschnitten oder zusammengefügt – gelten ein Dreieck und ein Kreis sogar als gleichwertig, da beide eine einzige geschlossene Fläche ohne Löcher bilden. Aus demselben Grund sind eine Kugel und ein Würfel gleichwertig, während ein Donut sich aufgrund seines Lochs unterscheidet. Die moderne Geometrie wendet diese Ideen auf weitaus komplexere Räume an, darunter auch solche mit mehr als drei Dimensionen.

Wenn Veränderungen umkehrbar sind

Susanna Zimmermann ist Spezialistin für birationale Geometrie, ein Zweig der Mathematik, der sich mit umkehrbaren Veränderungen geometrischer Formen befasst. «Es geht darum, herauszufinden, welche Objekte sich ineinander umformen lassen und welche nicht», sagt sie.

So kann man beispielsweise fast alle Punkte auf einer Kugel Punkten auf einer ebenen Fläche zuordnen, und durch Umkehrung dieser Zuordnung lässt sich die Kugel wiederherstellen. Die beiden Objekte sehen zwar sehr unterschiedlich aus, weisen aber dennoch dieselbe zugrunde liegende algebraische Struktur auf. Dadurch lässt sich eine komplexe Form anhand einer einfacheren Form untersuchen, ohne dass die für ihre Rekonstruktion erforderlichen Informationen verloren gehen.

Potenzial für KI und Verschlüsselung

Diese Art der Forschung vertieft nicht nur unser Verständnis der reinen Mathematik, sondern bildet auch die Grundlage für zukünftige Anwendungen. Ein Beispiel hierfür ist die Bewertung komplexer KI-Modelle wie neuronaler Netze, bei denen unterschiedliche interne Einstellungen manchmal zum gleichen Ergebnis führen. Bei solchen sogenannten «Viele-zu-eins»-Beziehungen kann es schwierig sein, die Leistung eines Modells angemessen zu bewerten. Doch mithilfe birationaler Methoden können Forschende KI-Modelle vergleichen und abschätzen, wie gut diese bei neuen Daten abschneiden werden.

Eine weitere Anwendungsmöglichkeit liegt in der Kryptografie, wo Forschende Kodierungsschlüssel auf der Grundlage geometrischer Transformationen untersuchen. Die ursprünglichen Informationen lassen sich wiederherstellen, indem die bei der Verschlüsselung verwendete Transformation umgekehrt angewendet wird.

Die Suche nach den Bausteinen der Symmetrie

Um festzustellen, ob zwei Formen tatsächlich identisch sind, untersuchen Forschende die Veränderungen, unter denen sie erhalten bleiben – die sogenannten Symmetrien – sowie die Eigenschaften, die unter diesen Transformationen unverändert bleiben. «Die Symmetrien zwischen Oberflächen können sehr komplex sein, aber sie alle bestehen aus einfacheren Symmetrien wie Drehungen», erklärt Susanna Zimmermann. Diese grundlegenden Bausteine komplexer Symmetrien zu finden, steht im Mittelpunkt ihrer Forschung.

Unter allen birationalen Symmetrien interessieren sie insbesondere jene, die einen gegebenen geometrischen Raum neu anordnen, ohne dessen Kernstruktur zu verändern. So können beispielsweise gerade Linien in gekrümmte Linien verwandelt werden, wobei genügend Informationen erhalten bleiben, um die ursprüngliche Anordnung zu rekonstruieren. Alle diese Transformationen bilden zusammen das, was in der Mathematik als Cremona-Gruppe bezeichnet wird: birationale Symmetrien, die nach Luigi Cremona, einem italienischen Mathematiker aus dem 19. Jahrhundert, benannt sind. Sich mit einer Cremona-Gruppe zu beschäftigen bedeutet, all die verschiedenen Arten zu verstehen, wie sich ein gegebener Raum verändern kann, während er auf einer grundsätzlicheren Ebene doch derselbe bleibt.

Ein Durchbruch in höheren Dimensionen

Seit Cremona seine Idee 1863 präsentierte, wurden die Symmetrien kontinuierlich erforscht, und im letzten Jahrzehnt wurden bedeutende Fortschritte erzielt. Dennoch sind ihre grundlegenden Bausteine in mehr als drei Dimensionen noch unbekannt. «Dieses Unwissen ist für die Mathematik ein wenig peinlich. Ich möchte die Bausteine finden, und genau darauf zielt meine Forschung ab.»

2021 gelang Susanna Zimmermann ein Durchbruch mit weitreichenden Auswirkungen auf ihr Fachgebiet: Bei der Untersuchung von Cremona-Gruppen stellt sich die zentrale Frage, ob sie kleinere Untergruppen mit einer aussagekräftigen inneren Struktur enthalten. Bisher konnten diese Untergruppen nur in zwei Dimensionen belegt werden. Ihr gelang es, birationale Transformationen in einfachere geometrische Schritte zu zerlegen, und erfasste, wie oft bestimmte Arten von Schritten vorkommen. Mit dieser Methode konnte sie nachweisen, dass Cremona-Gruppen auch in drei und mehr Dimensionen solche Untergruppen enthalten.

Die Mathematik baut auf Zusammenarbeit

Das Paper über ihre wegweisenden Erkenntnisse habe «wirklich viele Türen geöffnet», sagt sie, und sei das Resultat einer intensiven Zusammenarbeit mit anderen Forschenden gewesen. In der Mathematik arbeiten Forschende oft alleine und veröffentlichen alleine Artikel. Sie aber steht in ständigem Kontakt mit Menschen aus aller Welt, und diese Kooperationen führen häufig zu neuen Ergebnissen. «Wenn ich ein Problem lösen will und schon auf halbem Weg dazu bin, treffe ich vielleicht eine andere Person, die sich dieselbe Frage gestellt hat und die andere Hälfte der Lösung parat hat. Dann können wir unsere Kräfte bündeln und es gemeinsam zu Ende bringen», sagt sie.

Die Mathematik gilt als die objektivste aller Wissenschaften, doch bevor ein strenger Beweis vorliegt, können Forschende sehr unterschiedliche Sichtweisen auf dasselbe Problem haben.

«Die Art und Weise, wie wir denken, ist sehr persönlich, und es ist faszinierend, andere Sichtweisen kennenzulernen. Das kann eine ganz neue Ebene des Verständnisses eröffnen», findet Susanna Zimmermann. Für sie sind mathematische Probleme wie Spiele, und die besten davon spielt man nicht allein.